URL

https://arxiv.org/pdf/2007.09622.pdf

Type d’article

Preprint

Thème

Épidémiologie

Que retenir de cet article, en 1-2 phrases ?

Cet article montre qu’une grande variété de modèles épidémiologiques compartimentaux de type SIR, décrivant le comportement au cours du temps d’une épidémie complexe, peuvent être décrits de façon unifiée comme la solution d’une EDP de type McKendrick-von Foerster.

Objectifs de l’étude / Questions abordées

L’objectif de cet article est de montrer que de nombreux modèles épidémiologiques complexes pour l’évolution au cours du temps d’une épidémie peuvent être traités de façon unifiée par une équation aux dérivées partielles de type McKendrick-von Foerster. Ainsi, de nombreux modèles de type SIR décrivent une population d’infectés passant par différents stades de la maladie (présymptomatique, symptomatique, hospitalisé, rétabli, etc.), de façon déterministe ou aléatoire. Tous ces modèles peuvent être représentés par une EDP simple. Cela permet ainsi d’extraire de ces modèles complexes les quelques paramètres essentiels régissant la dynamique de l’épidémie.

Méthode

Une épidémie est modélisée ici par un modèle de Crump-Mode-Jagers. La “trajectoire” représentant l’état de la maladie d’un individu est donnée par un processus aléatoire à valeurs dans l’espace des états, tandis que les événements de contamination de cet individu sont représentés par un processus ponctuel. À chaque nouvel événement de contamination, un individu infecté est rajouté au processus. De très nombreux modèles de maladie peuvent être simulés par ce type de processus, puisque la trajectoire de la maladie peut être aussi complexe que souhaitée, et les événements de contamination peuvent être corrélés à cette trajectoire.

En revanche, ce modèle ne tient pas compte d’une possible hétérogénéité spatiale ou en âges de la population, ni de la possible saturation de l’épidémie lorsque le nombre de contaminés approche l’immunité de groupe. Toutefois, des extensions de ce modèle sont proposées pour prendre en compte ces différents effets.

Résultats principaux

Dans cet article, les auteurs montrent qu’une épidémie complexe, modélisée par un modèle de Crump-Mode-Jagers (CMJ), se comporte lorsque le nombre de contaminés devient grand (mais toujours sous l’hypothèse que le nombre d’indivdus sains est en excès) comme la solution d’une équation aux dérivées partielles (EDP) de type McKendrick-von Foerster. Les seuls paramètres nécessaires pour décrire l’EDP associée au modèle CMJ sont la probabilité pour qu’un individu infecté depuis t unités de temps se trouve dans l’état i, et le nombre moyen de contaminations d’un individu typique par unité de temps. La seule connaissance de ces deux quantités permet donc de prédire le futur nombre d’individus dans les différents états de la maladie, sans connaître en détail la loi de la trajectoire épidémique ou le processus d’infection.

Ce modèle est appliqué aux données françaises de contamination au coronavirus pendant la période de confinement. En partant d’un modèle complexe à 7 compartiments de l’épidémie de COVID19, les auteurs montrent que les trajectoires observées d’hospitalisation, de passage en soins intensifs et de mort correspondent bien à une solution de l’EDP de type McKendrick-von Foerster de paramètres bien choisis.

Commentaire/brève évaluation

Cet article apporte une vision unifiée originale des modèles complexes d’épidémiologie décrits par des systèmes compartimentaux (état sanitaire et âge pour l’infection). Sous des hypothèses d’interactions faibles entre individus contaminés (c’est-à-dire une fraction relativement faible d’infectés devant la population totale, avec peu d’inhomogénéité spatiale et sans effets de seuils d’occupation des lits), les auteurs montrent que tous ces systèmes d’équations différentielles peuvent être construits comme la solution d’une équation aux dérivées partielles dépendant seulement de deux fonctions. Cela permet à la fois d’unifier ces approches, mais également de les étendre puisque les modèles classiques supposent de façon habituelle un comportement Markovien pour l’évolution des maladies.